Question

12．如圖，拋物線${y_1}={（x-2）^2}+m$與x軸交于點A和B，與y軸交于點C，點D是點C關于拋物線對稱軸的對稱點，若點A的坐標為（1，0），直線y₂=kx+b經過點A，D．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）求點D的坐標和直線AD的函數解析式；
（3）根據圖象指出，當x取何值時，y₂＞y₁．

Answer 1

分析 （1）把點A的坐標代入拋物線解析式可求出m的值，進而可得到拋物線的解析式；
（2）首先由拋物線的解析式可求出點C的坐標，再根據函數圖象的對稱性即可求出點D的坐標；由于點A的坐標已知，進而可求出直線AD的解析式；
（3）結合兩個函數圖象可知當但直線在拋物線上方時可得到y₂＞y₁的解集．

解答 解：
（1）∵點A（1，0）在拋物線上，
∴（1-2）²+m=0，
∴m=-1，
∴y₁=（x-2）²-1；                
（2）拋物線y₁=（x-2）²-1的對稱軸為x=2，與y的交點C的坐標為（0，3），
∵點D是點C關于對稱軸x=2的對稱點，
∴點D的坐標為（4，3），
直線AD經過點點A，D，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{4k+b=3}\end{array}}\right.$，
解得k=1，b=-1，
∴y=x-1；                          
（3）當1＜x＜4時，y₂＞y₁．

點評 本題考查二次函數與不等式（組）的知識，同時涉及到用待定系數法求一次函數解析式和二次函數的性質，解題要注意數形結合思想的靈活運用，難度一般．