Question

17．（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連結BE、CD，試猜想BE與CD的大小關系，并證明你的結論；
（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=CD，∠ABC=30°，∠ADC=60°，求BD的長；
（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形性質得出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根據SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）利用∠ADC=60°，AD=DC可把△ADB繞點D逆時針旋轉60°得到△DCE，如圖2，根據旋轉的性質可判斷△DBE為等邊三角形，得到BD=BE，接著利用∠ABC=30°可得到Rt△BCE，然后利用勾股定理計算出BE，從而得到BD的長．
（3）如圖3，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解．

解答 解：（1）CD=EB，
理由是：∵△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=EB；
（2）∵∠ADC=60°，AD=DC，
∴把△ADB繞點D逆時針旋轉60°得到△DCE，如圖2，連接BE，
∴DB=DE，CE=AB=4，∠DEC=∠DBA，∠BDE=60°，
∴△DBE為等邊三角形，
∴BD=BE，∠DBE=∠DEB=60°，
即∠DEC+∠CEB+∠CBE+∠CBD=120°，
∵∠ABC=30°，
∴∠DBA+∠CBD=30°，
∴∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠BCE=90°，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴BD的長為5；
（3）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，
∵∠ACD=∠ADC=45°，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=CE．
∵AE=AB=4，
∴BE=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，∠ABE=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，
∴EC=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴BD=CE=$\sqrt{41}$．

點評 本題是三角形的綜合題，難度適中，考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和應用，等腰直角三角形的性質和判定，旋轉的性質和勾股定理，全等三角形的判定結合全等三角形的性質是證明線段相等或角相等的工具，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．