Question

6．如圖，已知拋物線y=ax²+bx-5（a≠0）與x軸交于點A（1，0）及點B，對稱軸為直線x=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為線段BC上一個動點，過點P作x軸垂線，交拋物線于點Q，當點P的坐標是多少時，線段PQ的長最大？這個最大值是多少？
（3）若拋物線的頂點為M，求△BCM的面積S值．

Answer 1

分析 （1）根據題意將（1，0），x=3代入函數解析式進而得出答案；
（2）首先求出直線BC的解析，進而表示出P，Q點坐標，進而利用二次函數最值求法答案；
（3）根據題意利用△BCM的面積S=S_△BMN+S_△CMN，進而求出答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-5（a≠0）與x軸交于點A（1，0）及點B，對稱軸為直線x=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-5=0}\\{-\frac{b}{2a}=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為：y=-x²+6x-5；

（2）如圖所示：當x=0可得，y=-5，則C（0，-5），
當y=0，則0=-x²+6x-5，
解得：x₁=1，x₂=5，
故B（5，0），
設直線BC的解析式為：y=kx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{5k+c=0}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
故直線BC的解析式為：y=x-5，
設P（x，x-5），Q（x，-x²+6x-5），
故PQ=-x²+6x-5-（x-5）
=-x²+5x
=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
當x=$\frac{5}{2}$，x-5=-$\frac{5}{2}$，
即當點P的坐標，（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）時，線段PQ的長最大，這個最大值是$\frac{25}{4}$；

（3）如圖所示：當M點為拋物線頂點坐標，則x=3時，y=-x²+6x-5=-9+18-5=4，
即M（3，4），
當x=3，則x-5=-2，
即N（3，-2），
故MN=4-（-2）=6，
故△BCM的面積S=S_△BMN+S_△CMN=$\frac{1}{2}$MN•（5-3）+$\frac{1}{2}$×MN×3=$\frac{1}{2}$MN×5=15．

點評 此題主要考查了二次函數綜合以及二次函數最值求法和圖形面積求法等知識，正確表示出Q，P點坐標是解題關鍵．