Question

18．已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）連接PA、AC、CP，求△PAC的面積；
（3）過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)D，連接PD、BD，BD交AC于點(diǎn)E，判斷四邊形PCED的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法將A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)代入解析式求出即可，再利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用兩點(diǎn)之間距離公式求出PA=2$\sqrt{5}$，PC=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，進(jìn)而得出△PAC為直角三角形，求出面積即可；
（3）首先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，3），PC=DP，進(jìn)而得出四邊形PCED是菱形，再利用∠PCA=90°，得出答案即可．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴該拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
故P（-1，4）；

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴P（-1，4），
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴PA=2$\sqrt{5}$，PC=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，
∵PA²=PC²+AC²，
∴∠PCA=90°，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$AC•PC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=3；

（3）四邊形PCED是正方形，
理由：∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，3），PC=DP，
∵A（-3，0），C（0，3），代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式是：y=x+3，
同理可得出：直線DP的函數(shù)關(guān)系式是：y=x+5，
∴AC∥DP，
同理可得：PC∥BD，
∴四邊形PCED是菱形，
又∵∠PCA=90°，
∴四邊形PCED是正方形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及菱形與正方形的判定方法等知識(shí)，正確掌握正方形的判定方法是解題關(guān)鍵．