Question

20．如圖，在△ABC中，AC=4，D為BC上一點，CD=2，且△ADC與△ABD的面積比為1：3；
（1）求證：△ADC∽△BAC；
（2）當AB=8時，求sinB．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥BC，根據△ADC與△ABD的面積比為1：3且CD=2可得BD=6，即BC=8，從而得$\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CA}$，結合∠C=∠C，可證得△ADC∽△BAC；
（2）由△ADC∽△BAC得$\frac{AD}{BA}=\frac{AC}{BC}$，求出AD的長，根據AE⊥BC得DE=$\frac{1}{2}$CD=1，由勾股定理求得AE的長，最后根據正弦函數的定義可得．

解答 解：（1）如圖，作AE⊥BC于點E，

∵$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABD}}$=$\frac{\frac{1}{2}CD•AE}{\frac{1}{2}BD•AE}$=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
∴BD=3CD=6，
∴CB=CD+BD=8，
則$\frac{CA}{CB}=\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CD}{CA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CA}$，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC；

（2）∵△ADC∽△BAC，
∴$\frac{AD}{BA}=\frac{AC}{BC}$，即$\frac{AD}{8}=\frac{4}{8}$，
∴AD=AC=4，
∵AE⊥BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴sinB=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質及勾股定理、等腰三角形的性質、三角函數的定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．