Question

11．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，過點A作AD⊥BC，垂足為點D，延長AD至點E，使DE=$\frac{1}{2}$AD，過點A作AF∥BC，交EC的延長線于點F．
（1）設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的線性組合表示$\overrightarrow{AE}$；
（2）求$\frac{{S}_{△DEC}}{{S}_{△AFC}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量的三角形法則得到$\overrightarrow{AD}$，然后結合已知條件DE=$\frac{1}{2}$AD來求$\overrightarrow{AE}$；
（2）根據平行線截線段成比例和三角形的面積公式進行解答．

解答 解：（1）∵如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$．
又∵DE=$\frac{1}{2}$AD，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{b}$；

（2）∵DE=$\frac{1}{2}$AD，AF∥BC，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{DC}{AF}$=$\frac{ED}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△DEC}}{{S}_{△AFC}}$=$\frac{\frac{1}{2}DC•DE}{\frac{1}{2}AF•AD}$=$\frac{DC}{AF}$•$\frac{DE}{AD}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
即$\frac{{S}_{△DEC}}{{S}_{△AFC}}$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了平面向量和等腰三角形的性質．解答關于平面向量的問題時，一般采用“數形結合”的數學思想．