Question

如圖，銳角△ABC中，A關于BC的對稱點為D，B關于AC為E．
（1）若△ABC為等腰三角形，即CB=CA，求證：△CDM≌△CEN；
（2）探究一；當銳角△ABC應滿足什么條件時，四邊形CDFE為菱形？
（3）探究二；當∠ACB應滿足什么條件時，點C在DE直線上？當∠ACB滿足什么條件，C在直線DE外？

Answer 1

【答案】分析：（1）由銳角△ABC中，A關于BC的對稱點為D，B關于AC為E，△ABC為等腰三角形，即CB=CA．易證得CD=CA=CE=CB，∠DCM=∠ACB=∠ECN，∠CMD=∠CNE=90°，則可由AAS判定：△CDM≌△CEN；
（2）由若四邊形CDFE為菱形，則需CD=CE，CD∥EF，由（1）可得當△ABC為等腰三角形，即CB=CA時，△CDM≌△CNE，此時CD=CE，然后設∠DCM=∠ECN=∠ACB=x°，易求得∠ACB=45°，即可得當銳角△ABC是等腰三角形且頂角∠ACB=45°時，四邊形CDFE為菱形；
（3）由若點C在DE直線上，則需D，C，E三點共線，即∠DCE=180°，可求得當∠ACB=60°時，點C在DE直線上；又由△ACB是銳角三角形，可得當0°＜∠ACB＜60°或60°＜∠ACB＜90°時，C在直線DE外．
解答：（1）證明：∵銳角△ABC中，A關于BC的對稱點為D，B關于AC為E．
∴CD=CA，CE=CB，∠CMD=∠CNE=90°，∠DCM=∠ACM，∠ECN=∠BCN，
∴∠DCM=∠ECN，
∵CB=CA，
∴CD=CE，
在△CDM和△CEN中，
，
∴△CDM≌△CEN（AAS）；

（2）解：當銳角△ABC是等腰三角形且頂角∠ACB=45°時，四邊形CDFE為菱形．
若四邊形CDFE為菱形，則需CD=CE，CD∥EF，
∴由（1）得：當△ABC為等腰三角形，即CB=CA時，△CDM≌△CNE，此時CD=CE，
∴∠CDM=∠CEN，
設∠DCM=∠ECN=∠ACB=x°，
∵∠CNE=90°，
∴∠CEN=90°-x°，
∵CD∥EF，
∴∠DCE+∠CEN=180°，
∴3x+90-x=180，
解得：x=45，
∴∠ACB=45°，
即當銳角△ABC是等腰三角形且頂角∠ACB=45°時，四邊形CDFE為菱形．

（3）解：當∠ACB=60°時，點C在DE直線上；當0°＜∠ACB＜60°或60°＜∠ACB＜90°時，C在直線DE外．
理由：∵若點C在DE直線上，則需D，C，E三點共線，
即∠DCE=180°，
∵∠DCM=∠ACB=∠ECN，
∴∠ACB=60°，
∴當∠ACB=60°時，點C在DE直線上；
∵△ACB是銳角三角形，
∴當0°＜∠ACB＜60°或60°＜∠ACB＜90°時，C在直線DE外．
綜上可得：當∠ACB=60°時，點C在DE直線上；當0°＜∠ACB＜60°或60°＜∠ACB＜90°時，C在直線DE外．
點評：此題考查了菱形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及軸對稱的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．