Question

（1997•浙江）如圖，銳角△ABC中，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點D，E，記△ADE的面積為S₁，△ABC的面積為S₂，則

S1

S2

=（　　）

A．sinA

B．sin²A

C．cosA

D．cos²A

Answer 1

分析：如圖，連接BE．構建直角△ABE，通過解該直角三角形求得cosA=

AE

AB

；然后通過相似三角形△AED∽△ABC的對應邊的比成比例知

AE

AB

=

AD

AC

；最后結合三角形的面積公式分別求得△ADE、△ABC的面積．

解答：解：如圖，連接BE．
∵BC為半圓的直徑，
∴∠BEC=∠AEB=90°．
∴在直角△ABE中，cosA=

AE

AB

，
∵點D、B、C、E四點共圓，
∴∠ABC+∠DEC=180°．
∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AD

AC

．
∵S₁=

1

2

AE•AD•sinA，S₂=

1

2

AB•AC•sinA，

S1

S2

=

AE•AD

AB•AC

=

AE2

AB2

=cos²A．
故選D．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理以及解直角三角形等知識點．解答該題時，借用了圓內接四邊形的內對角互補的性質．