Question

如圖，銳角△ABC中，PQRS是△ABC的內接矩形，且S_△ABC=nS_矩形PQRS，其中n為不小于3的自然數．求證：

BS

AB

需為無理數．

Answer 1

分析：可由△ASR∽△ABC得出對應邊成比例，再由三角形與梯形的面積比建立等式，即可得出結論．

解答：證明：如圖，
設BC=a，BC邊上的高AD=h，PS=x，RS=y，由△ASR∽△ABC，得

h-x

h

=

y

a

，
∴y=

h-x

h

•a，
∵S_△ABC=nS_梯形PQRS，即

1

2

ah=nxy•

h-x

h

•a，整理得2nx²-2nxh+h²=0，
2n(

x

h

)2-2n•

x

h

+1=0，∴

x

h

=

1

2

±

1

2n

n2-2n

，顯然n²-2n＜（n-1）²又n≥3，
∴n²-2n＞（n-2）²，故n²-2n不是完全平方數，

n2-2n

為無理數，
從而

x

n

為無理數，于是

BS

BA

=

x

h

為無理數．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質以及一元二次方程的求解問題，能夠熟練掌握．