Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°、AC=BC=4，點P從點C出發沿CA以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，同時，點Q從點C出發沿CB-BA運動，點Q在CB上的速度為每秒2個單位長度，在BA上的速度為每秒$\sqrt{2}$個單位長度，當點P到達A點時，點Q隨之停止運動，以CP、CQ為鄰邊作?CPMQ．設?CPMQ與△ABC重疊部分圖形的面積為y，點P的運動時間為x秒．
（1）當點M落在AB上時，求x的值．
（2）當點Q在邊CB上運動時，求y與x的函數關系式
（3）直接寫出在P、Q兩點整個運動過程中，當?CPMQ與△ABC重疊部分圖形不是四邊形時，x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）只要證明四邊形CPMQ是矩形，△MQB是等腰直角三角形，列出方程即可解決問題．
（2）分兩種情形討論即可①如圖2中，①當0＜t≤$\frac{4}{3}$時，重疊部分是四邊形CPMQ．②②如圖3中，$\frac{4}{3}$＜t≤2時，重疊部分是五邊形CPEFQ．分別計算即可．
（3）根據圖4與圖5，結合（2）中圖形，即可判斷．

解答 解：（1）如圖1中，

∵∠C=90°、AC=BC=4，四邊形CPMQ是平行四邊形，
∴四邊形CPMQ是矩形，∠A=∠B=45°，
∴AB∥MQ，
∴∠MQB=∠C=90°，
∴∠QMB=∠B=45°，
∴PC=MQ=BQ，
∴2t+t=4，
∴t=$\frac{4}{3}$．

（2）如圖2中，①當0＜t≤$\frac{4}{3}$時，重疊部分是四邊形CPMQ．

y=t•2t=2t²，
②如圖3中，$\frac{4}{3}$＜t≤2時，重疊部分是五邊形CPEFQ．

y=S_{四邊形CPMQ}-S_△EFM=2t²-$\frac{1}{2}$（3t-4）²=-$\frac{5}{2}$t²+12t-8，
綜上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{2{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{4}{3}）}\\{-\frac{5}{2}{t}^{2}+12t-8}&{（\frac{4}{3}＜t≤2）}\end{array}\right.$．

（3）如圖4中，當Q與B重合時，重疊部分是四邊形，

如圖5中，當點P與A重合時，重疊部分是三角形．

∴在P、Q兩點整個運動過程中，當?CPMQ與△ABC重疊部分圖形不是四邊形時，x的取值范圍為$\frac{4}{3}$＜t＜2或t=4．

點評 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的性質、矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會分類討論，需要正確畫出圖形，屬于中考常考題型．