Question

6．已知二次函數y=x²-（2m-1）x+m²-m（m是常數，且m≠0）．
（1）證明：不論m取何值時，該二次函數圖象總與x軸有兩個交點；
（2）若A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是該二次函數圖象上的兩個不同點，求二次函數解析式和n的值．

Answer 1

分析 （1）根據題意，求出△的值即可解答本題；
（2）根據A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是該二次函數圖象上的兩個不同點，可以求出函數的對稱軸，從而可以求得m的值，得到二次函數的解析式，然后將A的坐標代入即可求得n的值．

解答 （1）證明：∵y=x²-（2m-1）x+m²-m（m是常數，且m≠0），
∴△=[-（2m-1）]²-4×1×（m²-m）=1＞0，
∴不論m取何值時，該二次函數圖象總與x軸有兩個交點；
解：（2）∵A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是該二次函數圖象上的兩個不同點，
∴對稱軸為直線x=$\frac{n-3+（-n+1）}{2}$=-1，
∴$-\frac{-（2m-1）}{2×1}$=-1，
解得，m=-0.5，
∴二次函數的解析式為：y=x²-（2m-1）x+m²-m=x²-[2×（-0.5）-1]x+（-0.5）²-（-0.5）=x²+2x$+\frac{3}{4}$，
即二次函數的解析式是y=x²+2x$+\frac{3}{4}$，
∵點A（n-3，n²+2）在該二次函數圖象上，
∴n²+2=（n-3）²+2（n-3）$+\frac{3}{4}$，
解得，n=$\frac{7}{16}$．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、待定系數法求二次函數的解析式，解答此類問題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．