Question

如圖，∠MON=90°，A、B分別是OM、ON上的點，OB=4．點C是線段AB的中點，將線段AC以點A為旋轉中心，沿順時針方向旋轉90°，得到線段AD，過點B作ON的垂線．

（1）當點D恰好落在垂線上時，求OA的長；

（2）過點D作DE⊥OM于點E，將（1）問中的△AOB以每秒2個單位的速度沿射線OM方向平移，記平移中的△AOB為△，當點O′與點E重合時停止平移．設平移的時間為t秒，△與△DAE重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式以及自變量t的取值范圍；

（3）在（2）問的平移過程中，若與線段交于點P，連接，，，是否存在這樣的t，使△是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）8;

（2） 當0≤t＜1時，．當１≤t＜４時，．當4≤t≤5時，．

（3） 0≤t≤4，．

【解析】

試題分析：（1）根據l⊥ON，可得∠DBA＋∠ABO=90°．由∠MON=90°，所以∠ABO＋∠BAO=90°，∠BAO=∠DBA．由題意知：∠BAD=90°，可得△ABO∽△BDA,從而求出OA

（2）分情況0≤t＜1； １≤t＜４時； 4≤t≤5時，求出函數關系式．

（3）存在滿足條件的t（0≤t≤4），分兩種情況討論①當PA′=PD時，PA′2=PD2，②當PA′=A′D時，PA′2=A′D2，討論即可得出結論．

試題解析：【解析】
（1）∵l⊥ON，∴∠DBA＋∠ABO=90°．

∵∠MON=90°，

∴∠ABO＋∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠DBA．

由題意知：∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠AOB=90°，

∴△ABO∽△BDA．

∴．

由題意知：AB=2AD，OB=4，

∴， ∴OA=8．

（2）當0≤t＜1時，．

當１≤t＜４時，．

當4≤t≤5時，．

（3）存在滿足條件的t（0≤t≤4），理由如下：

由題意知：==2t， O′A′=OA=8，DE=B′O′=BO=4．

經探究，得△∽△AOB，∴，即 ，

∴．△DAE∽△ABO，∴，即，

∴AE=2，

∴BD=OE=OA+AE=10．

∴PO′=4－t，B′D=10－2t，A′E=10－8－2t或2t＋8－10．

在Rt△中，．

在Rt△中，．

在Rt△中，．

①當PA′=PD時，PA′2=PD2，即，

解得．

∵0≤t≤4，∴．

②當PA′=A′D時，PA′2=A′D2，即，

解得．

∵0≤t≤4，∴此種情況不成立．

考點：1．三角形的相似的判定和性質；2．等腰三角形的判定和性質；3根據實際問題求解析式