Question

8．在等邊三角形ABC的邊BC上任取一點D，以CD為邊向外作等邊三角形CDE（如圖①），連接AD，BE，易證明BE=AD．

（1）若點D在射線BC上（如圖②），其他條件均不變，BE=AD是否依然成立？試說明理由；
（2）在圖②中，若等邊三角形CDE與等邊三角形ABC均在直線BC的同一側（如圖③），并且B，C，D三點在同一直線上，猜想BE=AD是否依然成立？試說明理由；
（3）在（2）的條件下，根據圖匯總所標字母，請直接寫出你發現的兩個正確結論．
①∠DAC=∠EBC；②∠AOB=60°．

Answer 1

分析 （1）根據SAS證明△ACD≌△BCE，根據全等三角形的性質證明即可；
（2）證明△BCE≌△ACD，根據全等三角形的性質證明即可；
（3）根據全等三角形的性質、三角形的外角的性質解答即可．

解答 解：（1）BE=AD依然成立，
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴CA=CB，
∵△CDE是等邊三角形，
∴CD=CE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD；

（2）BE=AD成立，
∵△ABC是等邊三角形，△CDE是等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD；

（3）∵△BCE≌△ACD，
∴∠DAC=∠EBC，
∠AOB=∠EBC+∠ADC=∠EBC+∠BEC=60°，
故答案為：①∠DAC=∠EBC；②∠AOB=60°．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、等邊三角形的三條邊相等、三個角相等是解題的關鍵．