Question

如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線BD＝16，點O是直線BD上的動點，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．

（1）對角線AC的長是 ，菱形ABCD的面積是 ；

（2）如圖1，當點O在對角線BD上運動時，OE＋OF的值是否發生變化？請說明理由；

（3）如圖2，當點O在對角線BD的延長線上時，OE＋OF的值是否發生變化？若不變，請說明理由，若變化，請探究OE、OF之間的數量關系，并說明理由．

 

 

Answer 1

（1）12；96 ；（2）OE+OF=9.6是定值，不變；（3）OE+OF的值變化，OE、OF之間的數量關系為：OE-OF=9.6

【解析】

試題分析：（1）連接AC與BD相交于點G，根據菱形的對角線互相垂直平分求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后根據AC=2AG計算即可得解；再根據菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解；

（2）連接AO，根據S△ABD=S△ABO+S△ADO列式計算即可得解；

（3）連接AO，根據S△ABD=S△ABO-S△ADO列式整理即可得解．

試題解析：（1）如圖，連接AC與BD相交于點G，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=BD=×16=8，

由勾股定理得，AG==6，

∴AC=2AG=2×6=12，

菱形ABCD的面積=AC•BD=×12×16=96；

故答案為：12；96；

（2）如圖1，連接AO，則S△ABD=S△ABO+S△ADO，

所以，BD•AG=AB•OE+AD•OF，

即×16×6=×10•OE+×10•OF，

解得OE+OF=9.6是定值，不變；

（3）如圖2，連接AO，則S△ABD=S△ABO-S△ADO，

所以，BD•AG=AB•OE-AD•OF，

即×16×6=×10•OE-×10•OF，

解得OE-OF=9.6，是定值，不變，

所以，OE+OF的值變化，OE、OF之間的數量關系為：OE-OF=9.6．

考點：菱形的性質