Question

3．若一個等腰三角形的兩條邊的邊長之比3：2，則這個等腰三角形底角的正切值為2$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于點D，則BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，分①AB：BC=3：2和②AB：BC=2：3兩種情況分別依據等腰三角形性質和勾股定理及正切函數的定義求解可得．

解答 解：如圖，作AD⊥BC于點D，
則BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，

①若AB：BC=3：2，
設AB=3x，則BC=2x，
∴BD=x，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}-{x}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
則tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2\sqrt{2}x}{x}$=2$\sqrt{2}$；
②若AB：BC=2：3，
設AB=2x，則BC=3x，
∴BD=$\frac{3}{2}$x，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}-（\frac{3}{2}x）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$x，
則tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\frac{\sqrt{7}x}{2}}{\frac{3x}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

點評 本題主要考查解直角三角形、等腰三角形的性質、勾股定理及三角函數的定義，熟練掌握等腰三角形的性質并據此分類討論是解題的關鍵．