Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC和CD上，∠BAE=∠DAF．

（1）求證：BE=DF；
（2）聯(lián)結AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM= OA，聯(lián)結EM、FM．求證：四邊形AEMF是菱形．

Answer 1

（1）先根據正方形的性質得到AB=AD，∠B=∠D=90°，再有∠BAE=∠DAF即可證得△ABE≌△ADF，從而得到結論；
（2）先根據正方形的性質得到∠BAC=∠DAC，再結合∠BAE=∠DAF可得∠EAO=∠FAO，由△ABE≌△ADF 可得AE=AF，根據等腰三角形三線合一的性質可得EO=FO，AO⊥EF，即可證得結論.

試題分析：（1）∵正方形ABCD
∴AB=AD，∠B=∠D=90°
∵∠BAE=∠DAF
∴△ABE≌△ADF
∴BE=DF；
（2）∵正方形ABCD
∴∠BAC=∠DAC
∵∠BAE=∠DAF  
∴∠EAO=∠FAO
∵△ABE≌△ADF 
∴AE=AF
∴EO=FO，AO⊥EF
∵OM=OA  
∴四邊形AEMF是平行四邊形
∵AO⊥EF   
∴四邊形AEMF是菱形.
點評：全等三角形的判定和性質是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，是中考中極為重要的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.