Question

8．如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，過C作⊙O的切線交AB的延長線于E，
AD⊥CE于D，連結AC．
（1）求證：AC平分∠BAD．
（2）若tan∠CAD=$\frac{3}{4}$，AD=8，求⊙O直徑AB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由DE為圓O的切線，得到OC垂直于CD，再由AD垂直于DE，得到AD與OC平行，得到一對內錯角相等，根據OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換即可得證；
（2）在直角三角形ADC中，利用銳角三角函數定義求出CD的長，根據勾股定理求出AD的長，由三角形ACD與三角形ABC相似，得到對應邊成比例，即可求出AB的長．

解答 證明：（1）連結OC，
∵DE是⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥CE，
∴AD∥OC，
∵OA=OC，
∴∠DAC=∠ACO=∠CAO，
∴AC平分∠BAD；
（2）解：∵AD⊥CE，tan∠CAD=$\frac{3}{4}$，AD=8，
∴CD=6，
∴AC=10，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°=∠D，
∵∠DAC=∠CAO，
∴△ACD∽△ABC，
∴AB：AC=AC：AD，
∴AB=$\frac{25}{2}$．

點評 此題考查了切線的性質，以及解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．