Question

 在平面直角坐標系中, 拋物線+與直線交于A, B兩點，點A在點B的左側.

    (1) 如圖，當時，直接寫出A，B兩點的坐標；

(2) 在(1)的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；

(3) 如圖，拋物線+ 與軸交于C，D兩點（點C在點D的左側）.在直線上是否存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）A(-1,0)  ，B(2,3)

【解答，無需寫】當k=1時，列，解可得

（2）平移直線AB得到直線L，當L與拋物線只有一個交點時，△ABP面積最大【如圖12-1（1）】

設直線L解析式為： ，

根據，得

判別式△，解得，

代入原方程中，得；解得，，

∴P（,）

易求，AB交軸于M（0，1），直線L交軸于G（0，）

過M作MN⊥直線L于N，∵OM=1，OA=1，∴∠AMO=45°

∵∠AMN=90，∴∠NMO=45°

在RT△MNE中，∠NMO=45°，MG=，【如圖12-1（2）】

∴ MN=，MN即為△ABP的高

由兩點間距離公式，求得：AB=

故△ABP最大面積

（3）設在直線上存在唯一一點Q使得∠OQC=90°

     則點Q為以OC的中點E為圓心，OC為直徑形成的圓E與直線

     相切時的切點【如圖12-2（1）】

由解析式可知：C（,0），OC=，則圓E的半徑：OE=CE==QE

設直線與、軸交于H點和F點，與，

則F（0,1），∴OF=1   則H（,0）， ∴OH =  

∴ EH=

∵AB為切線   ∴EQ⊥AB，∠EQH=90°

在△FOH和△EQH中    

∴△FOH∽△EQH

     ∴   ∴ 1：=：QH，∴QH =

     

在RT△EQH中，EH=，QH =，QE =，根據勾股定理得，

 +=

求得