Question

（12分）如圖，已知拋物線 （）的頂點坐標為（4，），且與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊）.

（1）求拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；

（2）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P，使AP+CP的值最小，若存在，求AP+CP的最小值；若不存在，請說明理由；

（3）在以AB為直徑的⊙M中，CE與⊙M相切于點E，CE交x軸于點D，求直線CE的解析式．

Answer 1

（1），A（2，0）B（6，0）；（2）存在，；（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用頂點式求得二次函數的解析式后令其等于0后求得x的值即為與x軸交點坐標的橫坐標；

（2）線段BC的長即為AP+CP的最小值；

（3）連接ME，根據CE是⊙M的切線得到ME⊥CE，∠CEM=90°，從而證得△COD≌△MED，設OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得點D的坐標，然后利用待定系數法確定線段CE的解析式即可．

試題解析：（1）由題意，設拋物線的解析式為（），∵拋物線經過（0，2），∴，解得：，∴，即：，當時，，解得：或，∴A（2，0），B（6，0）；

（2）存在，如圖2，由（1）知：拋物線的對稱軸l為x=4，因為A、B兩點關于l對稱，連接CB交l于點P，則AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小．∵B（6，0），C（0，2），∴OB=6，OC=2，∴BC=，∴AP+CP=BC=，∴AP+CP的最小值為；

（3）如圖3，連接ME，∵CE是⊙M的切線，∴ME⊥CE，∠CEM=90°，∵C的坐標（0，2），∴OC=2，∵AB=4，∴ME=2，∴OC=ME=2，∵∠ODC=∠MDE，在△COD與△MED中，∵∠COD=∠MED，∠ODC=∠EDM，OC=ME，∴△COD≌△MED（AAS），∴OD=DE，DC=DM，設OD=x，則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x，則Rt△COD中，2，∴，∴，∴D（，0），設直線CE的解析式為（），∵直線CE過C（0，2），D（，0）兩點，則，解得：，∴直線CE的解析式為．

考點：二次函數綜合題．