Question

（本題滿分13分）在平面直角坐標系中，點M（，），以點M為圓心，OM長為半徑作⊙M ，使⊙M與直線OM的另一交點為點B，與x軸、y軸的另一交點分別為點D，A（如圖），連接AM點P是弧AB上的動點.

（1）寫出∠AMB的度數；

（2）點Q在射線OP上，且OP·OQ=20，過點Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交x軸于點E.

①當動點P與點B重合時，求點E的坐標；

②連接QD，設點Q的縱坐標為t，△QOD的面積為S，求S與t的函數關系式及S的取值范圍.

Answer 1

（1）90°；（2）①（，0）；②S=，5≤S≤10．

【解析】

試題分析：（1）首先過點M作MH⊥OD于點H，由點M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，繼而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，繼而可求得∠AMB的度數；

（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD與OM的值，繼而可得OB的長，又由動點P與點B重合時，OP•OQ=20，可求得OQ的長，繼而求得答案；

②由OD=，Q的縱坐標為t，即可得S==，然后分別從當動點P與B點重合時，過點Q作QF⊥x軸，垂足為F點，與當動點P與A點重合時，Q點在y軸上，去分析求解即可求得答案．

試題解析：（1）過點M作MH⊥OD于點H，∵點M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，∵OM=AM，∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AMO=90°，∴∠AMB=90°；

（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，∴OM==2，OD=2OH=，∴OB=4，∵動點P與點B重合時，OP•OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=，∴E點坐標為（，0）；

②∵OD=，Q的縱坐標為t，∴S==，如圖2，當動點P與B點重合時，過點Q作QF⊥x軸，垂足為F點，∵OP=4，OP•OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=，此時S==5；

如圖3，當動點P與A點重合時，Q點在y軸上，∴OP=，∵OP•OQ=20，∴t=OQ=，此時S==10；∴S的取值范圍為5≤S≤10．

考點：圓的綜合題．