Question

如圖，AC是⊙o的直徑，PA切⊙o于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙o上的-點(diǎn)，且∠BAC=30°，∠APB=60°。
（1）求證：PB是⊙o的切線；
（2）若⊙o的半徑為2，求弦AB及PA、PB的長。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

解析試題分析：（1）連接OB，證PB⊥OB．根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，結(jié)合已知條件可得∠OBP=90°得證．
（2）連接OP，根據(jù)切線長定理得直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)求解．
試題解析：（1）證明：連接OB．

∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°．
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°． 
∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四邊形的內(nèi)角和為360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°． 
∴OB⊥PB．
又∵點(diǎn)B是⊙O上的-點(diǎn)，
∴PB是⊙O的切線．
（2）解：連接OP；
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30°．
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，（6分）
∴PA=．
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=
考點(diǎn)：切線的判定．