Question

4．如圖，點B在線段AC上，點E在線段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、N分別是AE、CD的中點．
（1）求證：△ABE≌△DBC；
（2）判定△BMN的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）在△ABE和△DBC中依據SAS可證明△ABE≌△DBC；
（2）依據全等三角形的性質可得到AE=CD，∠BAM=∠BDN，然后依據中點的定義可證明AM=CN，依據SAS可證明ABM≌△DBN，然后全等三角形的性質可得到BM=BN，∠ABM=∠DBN，最后由∠ABM+∠MBE=∠MBE+∠EBN=90°可得到問題的答案．

解答 解：（1）在△ABE和△DBC中$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABD=∠DBC}\\{EB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC
（2）△MBN是等腰直角三角形．
證明如下：
∵△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，∠BAM=∠BDN．
∵M，N分別是AE，CD的中點，
∴AM=$\frac{1}{2}$AE，CN=$\frac{1}{2}$CD．
∴AM=CN．
在△ABM和△DBN中$\left\{\begin{array}{l}{AM=CN}\\{∠BAM=∠BDN}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴ABM≌△DBN．
∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．
∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°，
∴∠ABD=∠ABM+∠DBM=90°．
∴∠DBN+∠DBM=∠MBN=90°．
∴△MBN是等腰直角三角形．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．