Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點D為邊BC上一動點（不與點B、C重合），聯(lián)結(jié)AD，過點C作CF⊥AD，分別交AB、AD于點E、F，設(shè)DC=x，$\frac{AE}{BE}$=y．
（1）當(dāng)x=1時，求tan∠BCE的值；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)x=1時，在邊AC上取點G，聯(lián)結(jié)BG，分別交CE、AD于點M、N，當(dāng)△MNF∽△ABC時，請直接寫出AG的長．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠BCE=∠DAC，根據(jù)tan∠BCE=tan∠DAC=$\frac{DC}{AC}$計算即可．
（2）如圖1中，作BH⊥BC交CE的延長線于H．先證明△BCH∽△ACD，可得$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BH}{CD}$，推出BH=$\frac{3}{4}$x，由BH∥AC，可得$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AC}{BH}$，由此即可解決問題．
（3）如圖2中，過B作BK⊥AD于K，GQ⊥AD于Q，設(shè)GQ=4aM則AQ=16a，想辦法求出AN，根據(jù)AN=19a，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AD⊥CE，
∴∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠DAC+∠ACF=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∴tan∠BCE=tan∠DAC=$\frac{DC}{AC}$，
∵CD=x=1，AC=4，
∴tan∠BCE=$\frac{1}{4}$．

（2）如圖1中，作BH⊥BC交CE的延長線于H．
∵∠HBC=∠ACD=90°，∠BCH=∠DAC，
∴△BCH∽△ACD，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BH}{CD}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{BH}{x}$，
∴BH=$\frac{3}{4}$x，
∵BH∥AC，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AC}{BH}$，
∴y=$\frac{4}{\frac{3}{4}x}$，即y=$\frac{16}{3x}$（0＜x＜3）．

（3）如圖2中，過B作BK⊥AD于K，GQ⊥AD于Q，設(shè)GQ=4a，則AQ=16a，
∵△MNF∽△ABC∽△GNQ，
∴GQ：NQ=AC：BC=4：3，
∴NQ=3a，
∵AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴$\frac{1}{2}$•AD•BK=$\frac{1}{2}$•AC•BC-$\frac{1}{2}$•AC•CD，
∴BK=$\frac{8\sqrt{17}}{17}$，DK=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，AK=$\sqrt{A{B}^{2}-B{K}^{2}}$=$\frac{19\sqrt{17}}{17}$，
∵GQ∥BK，
∴$\frac{BK}{GQ}$=$\frac{NK}{NQ}$，
∴NK=$\frac{6\sqrt{17}}{17}$
∴AN=AK-KN=$\frac{13\sqrt{17}}{17}$，
∴19a=$\frac{13\sqrt{17}}{17}$，
∴a=$\frac{13\sqrt{17}}{323}$，
∴AG=$\sqrt{A{Q}^{2}+G{Q}^{2}}$=4$\sqrt{17}$a=$\frac{52}{19}$．

點評 本題考查相似三角形綜合題、銳角三角函數(shù)．相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形，屬于中考壓軸題．