Question

11．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，將△ABC繞頂點C按順時針方向旋轉45°至△A₁B₁C的位置，則線段AB掃過區域（圖中的陰影部分）的面積為$\frac{25π}{8}$cm²．

Answer 1

分析 根據陰影部分的面積是：S_扇形BCB1+S_△CB1A1-S_△ABC-S_扇形CAA1，分別求得：扇形BCB₁的面積，S_△CB1A1，S_△ABC以及扇形CAA₁的面積，即可求解．

解答 解：在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$cm，
扇形BCB₁的面積是=$\frac{45π×（\sqrt{29}）^{2}}{360}$=$\frac{29π}{8}$，
S_△CB1A1=$\frac{1}{2}$×5×2=5；
S_扇形CAA1=$\frac{45π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{π}{2}$．
故S_陰影部分=S_扇形BCB1+S_△CB1A1-S_△ABC-S_扇形CAA1
=$\frac{29π}{8}$+5-5-$\frac{π}{2}$
=$\frac{25π}{8}$．
故答案為：$\frac{25π}{8}$cm²．

點評 本題考查了旋轉的性質，勾股定理，扇形的面積的計算，正確理解陰影部分的面積=S_扇形BCB1+S_△CB1A1-S_△ABC-S_扇形CAA1是關鍵．