Question

13．【閱讀理解】
若A，B，C為數軸上三點，若點C到A的距離是點C到B的距離的2倍，我們就稱點C是（A，B）的優點．
例如，如圖①，點A表示的數為-1，點B表示的數為2．表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是（A，B）的優點；又如，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點D就不是（A，B）的優點，但點D是（B，A）的優點．
【知識運用】
如圖②，M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為-2，點N所表示的數為4．
（1）數2或10所表示的點是（M，N）的優點；
（2）如圖③，A、B為數軸上兩點，點A所表示的數為-20，點B所表示的數為40．現有一只電子螞蟻P從點B出發，以4個單位每秒的速度向左運動，到達點A停止．當t為何值時，P、A和B中恰有一個點為其余兩點的優點？

Answer 1

分析 （1）設所求數為x，根據優點的定義分優點在M、N之間和優點在點N右邊，列出方程解方程即可；
（2）根據優點的定義可知分兩種情況：①P為（A，B）的優點；②P為（B，A）的優點；③B為（A，P）的優點．設點P表示的數為x，根據優點的定義列出方程，進而得出t的值．

解答 解：（1）設所求數為x，
當優點在M、N之間時，由題意得x-（-2）=2（4-x），解得x=2；
當優點在點N右邊時，由題意得x-（-2）=2（x-4），解得：x=10；
故答案為：2或10；

（2）設點P表示的數為x，則PA=x+20，PB=40-x，AB=40-（-20）=60，
分三種情況：
①P為（A，B）的優點．
由題意，得PA=2PB，即x-（-20）=2（40-x），
解得x=20，
∴t=（40-20）÷4=5（秒）；
②P為（B，A）的優點．
由題意，得PB=2PA，即40-x=2（x+20），
解得x=0，
∴t=（40-0）÷4=10（秒）；
③B為（A，P）的優點．
由題意，得AB=2PA，即60=2（x+20）
解得x=10，
此時，點P為AB的中點，即A也為（B，P）的優點，
∴t=30÷4=7.5（秒）；
綜上可知，當t為5秒、10秒或7.5秒時，P、A和B中恰有一個點為其余兩點的優點．

點評 本題考查了一元一次方程的應用及數軸，解題關鍵是要讀懂題目的意思，理解優點的定義，找出合適的等量關系列出方程，再求解．