Question

19．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，以AC為腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，連接BE，交AD于點F，交AC于點G．
（1）若∠BAC=50°，則∠AEB=20°；
（2）求證：∠AEB=∠ACF；
（3）若AB=3，則EF²+BF²的值為18．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的旋轉得出∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根據三角形內角和定理求出即可；
（2）根據等腰三角形的性質得出∠BAF=∠CAF，根據SAS推出△BAF≌△CAF，根據全等得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案；
（3）根據全等得出BF=CF，求出∠CFG=∠EAG=90°，根據勾股定理求出EF²+BF²=EF²+CF²=EC²，EC²=AC²+AE²=2AC²，即可得出答案．

解答 （1）解：∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAC=50°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=50°+90°=140°，
∴∠AEB=（180°-140°）÷2=20°；

（2）證明：∵AB=AC，D是BC的中點，
∴∠BAF=∠CAF．
在△BAF和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAF=∠CAF，AF=AF\end{array}$，
∴△BAF≌△CAF（SAS）．
∴∠ABF=∠ACF．
又∵AB=AC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF．
（3）解：
∵△BAF≌△CAF，
∴BF=CF．
∴∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC．
∴∠CFG=∠EAG=90°．
∴EF²+BF²=EF²+CF²=EC²．
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=90°，AC=AE．
∴EC²=AC²+AE²=2AC²=18．
即EF²+BF²=18．
故答案為：18．

點評 本題考查了勾股定理，全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，題目比較好，有一定的難度．