Question

14．如圖，△ABC中，∠C=60°，以AB為邊作等邊△ABD，過D作DE⊥BC于E．若AC=4，BC=13，則EC=10.5．

Answer 1

分析 作輔助線，構建全等三角形，證明△ABC≌△DAG，則∠HGC=∠C=60°，DG=AC=4，再證明△GHC是等邊三角形，計算DH=13，BH=4；在Rt△DHE中，∠HDE=30°，根據(jù)直角三角形30°角的性質求EH=$\frac{1}{2}$DH=6.5，從而得EC的長．

解答 解：延長CA至G，使AG=BC=13，連接GD并延長，交CB的延長線于H，
∵△ADB是等邊三角形，
∴AD=AB，∠DAB=60°，
∴∠DAG+∠BAC=120°，
∵∠C=60°，
∴∠ABC+∠BAC=120°，
∴∠DAG=∠ABC，
在△ABC和△DAG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BC=AG}\\{∠ABC=∠DAG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DAG（SAS），
∴∠HGC=∠C=60°，DG=AC=4，
∴△GHC是等邊三角形，
∴GH=GC=HC=13+4=17，
∠DHC=60°，
∴DH=13，BH=4，
∵DE⊥BC，
∴∠DEH=90°，
在Rt△DHE中，∠HDE=30°，
∴EH=$\frac{1}{2}$DH=6.5，
∴BE=EH-BH=6.5-4=2.5，
∴EC=13-2.5=10.5．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定、直角三角形30°角的性質、等邊三角形的性質和判定，作輔助線構建兩三角形全等是本題的關鍵，證明△GHC是等邊三角形是突破口．