Question

9．如圖，海中有一個小島B，它的周圍14海里內有暗礁，在小島正西方有一點A測得在北偏東60°，方向上有一燈塔C，燈塔C在小島B北偏東15°方向上20海里處，漁船跟蹤魚群沿AC方向航行，每小時航行10$\sqrt{2}$海里．
（1）如果漁船不改變航向繼續航行，有沒有觸礁危險？請說明理由．
（2）求漁船從A點處航行到燈塔C，需要多少小時？（結果保留根號）

Answer 1

分析 （1）作BH⊥AC于H，根據余弦的概念求出BH，比較即可判斷；
（2）根據正切的概念求出AH，求出AC的長，根據漁船的速度計算即可．

解答 解：（1）漁船不改變航向繼續航行，沒有觸礁危險．
作BH⊥AC于H，
由題意得，∠CAB=30°，∠ABC=105°，
則∠ABH=60°，∠HBC=45°，
∴BH=BC×cos∠HBC=10$\sqrt{2}$，
∵10$\sqrt{2}$＞14，
∴漁船不改變航向繼續航行，沒有觸礁危險；
（2）HC=BH=10$\sqrt{2}$，
AH=$\frac{BH}{tan∠CAB}$=10$\sqrt{6}$，
∴AC=AH+HC=10$\sqrt{2}$+10$\sqrt{6}$，
則漁船從A點處航行到燈塔C，需要的時間為：（10$\sqrt{2}$+10$\sqrt{6}$）÷10$\sqrt{2}$=1+$\sqrt{3}$，
答：漁船從A點處航行到燈塔C，需要（1$+\sqrt{3}$）小時．

點評 本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，正確標注方向角、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．