Question

12．已知△ABC的兩邊AB、AC的長分別是關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數根，第三邊BC的長為5．
（1）當k為何值時，△ABC是直角三角形；
（2）當k為何值時，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周長．

Answer 1

分析 利用分解因式法解一元二次方程即可得出x₁=k+1，x₂=k+2．
（1）由△ABC是直角三角形利用勾股定理即可得出關于k的一元二次方程（5為斜邊和k+2為斜邊兩種情況），解之即可得出結論；
（2）根據等腰三角形的性質即可得出關于k的一元一次方程（AB=BC或AC=BC），解之即可得出k值，再根據三角形的周長公式即可求出結論．

解答 解：∵x²-（2k+3）x+k²+3k+2=（x-k-1）（x-k-2）=0，
∴x₁=k+1，x₂=k+2．
（1）∵△ABC是直角三角形，
∴（k+1）²+（k+2）²=25或（k+1）²+25=（k+2）²，
解得：k₁=-5（舍去），k₂=2，k₃=11．
∴當k為2或11時，△ABC是直角三角形；
（2）若要△ABC是等腰三角形，只需AB=BC或AC=BC，
即k+1=5或k+2=5，
解得：k=4或k=3．
當k=4時，△ABC的周長為4+1+4+2+5=16；
當k=3時，△ABC的周長為3+1+3+2+5=14．
∴當k為4或3時，△ABC是等腰三角形，且△ABC的周長為16或14．

點評 本題考查了勾股定理、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的性質，解題的關鍵是：（1）利用勾股定理列出關于k的一元二次方程；（2）根據等腰三角形的性質找出關于k的一元一次方程．