Question

（本題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，已知A（﹣2，0），B（2，0），AC⊥AB于點A，AC=2，BD⊥AB于點B，BD=6，以AB為直徑的半圓O上有一動點P（不與A、B兩點重合），連接PD、PC，我們把由五條線段AB、BD、DP、PC、CA所組成的封閉圖形ABDPC叫做點P的關聯圖形，如圖1所示．

（1）如圖2，當P運動到半圓O與y軸的交點位置時，求點P的關聯圖形的面積．

（2）如圖3，連接CD、OC、OD，判斷△OCD的形狀，并加以證明．

（3）當點P運動到什么位置時，點P的關聯圖形的面積最大，簡要說明理由，并求面積的最大值．

 

 

Answer 1

（1）12；（2）△OCD是直角三角形，理由見試題解析；（3）P為OC與半圓O的交點，．

【解析】

試題分析：（1）判斷出四邊形AOPC是正方形，得到正方形的面積是4，根據BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面積=，二者相加即為點P的關聯圖形的面積是12．

（2）根據CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判斷出△OCD是直角三角形．

（3）要使點P的關聯圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，確定關聯圖形的最大面積是梯形ACDB的面積﹣△PCD的面積，根據此思路，進行解答．

試題解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，

∵P是半圓O上的點，P在y軸上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四邊形AOPC是正方形，

∴正方形的面積是4，

又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面積=，

∴點P的關聯圖形的面積是12．

（2）判斷△OCD是直角三角形．

證明：延長CP交BD于點F，則四邊形ACFB為矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，∴△OCD是直角三角形．

（3）連接OC交半圓O于點P，則點P即為所確定的點的位置．

理由如下：連接CD，梯形ACDB的面積=為定值，

要使點P的關聯圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，

∵CD為定長，∴P到CD的距離就要最小，

連接OC，設交半圓O于點P，

∵AC⊥OA，AC=OA，∴∠AOC=45°，過C作CF⊥BD于F，則ACFB為矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC⊥CD，OC=，

∴PC在半圓外，設在半圓O上的任意一點P′到CD的距離為P′H，則P′H+P′O＞OH＞OC，

∵OC=PC+OP，∴P′H＞PC，∴當點P運動到半圓O與OC的交點位置時，點P的關聯圖形的面積最大．

∵CD=，CP=，

∴△PCD的面積=，

∴點P的關聯圖形的最大面積是梯形ACDB的面積﹣△PCD的面積=．

考點：圓的綜合題．