Question

17．已知G為△ABC的重心，過G的直線交AB于P，交AC于Q，設$\frac{AP}{PB}$=a，$\frac{AQ}{QC}$=b，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1．

Answer 1

分析 根據三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．可以分別過點B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于點E，F，根據平行線等分線段定理和梯形中位線定理可得到兩個等式，代入所求代數式整理即可得到答案．

解答 解：分別過點B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于點E，F，則GE=GF，
∵GD是梯形的中位線，
∴BE+CF=2GD，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{PB}{PA}$+$\frac{CG}{AG}$=$\frac{BE}{AG}$+$\frac{CF}{AG}$=$\frac{BE+CF}{AG}$=$\frac{2GD}{AG}$=1，
故答案為1．

點評 本題主要考查了重心的概念和性質，能夠熟練運用平行線分線段成比例定理、平行線等分線段定理以及梯形的中位線定理，難度適中．