Question

1．如圖，CD是⊙O的直徑，且CD=4cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA、PB，切點分別為A、B．
（1）連接AC，若∠APO=30°，求證：△ACP是等腰三角形；
（2）順次連結(jié)A、O、B、D，若四邊形AOBD是菱形，求DP的長；
（3）填空：當DP=2$\sqrt{2}$-2cm時，四邊形AOBP是正方形．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接AO，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAO=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠AOP=60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠CAO=30°，即可得到結(jié)論；
（2）由四邊形AOBD是菱形，得到AO=AD，由于AO=OD，推出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠AOD=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到PO=2AO=2DO，即可得到結(jié)論；
（3）當DP=（2$\sqrt{2}$-2）cm時，四邊形AOBP是正方形．由四邊形AOBP是正方形，于是得到AO=AP，∠OAP=∠APB=∠AOB=90°，根據(jù)切線長定理得到∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}∠$APB=45°，得到∠AOP=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連接AO，
∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAO=90°，
∵∠APO=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠C=∠CAO=30°，
∴∠C=∠APO，
∴△ACP是等腰三角形；

（2）∵四邊形AOBD是菱形，
∴AO=AD，
∵AO=OD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠AOD=60°，
∴PO=2AO=2DO，
∴PD=OD=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×$4=2cm；

（3）當DP=（2$\sqrt{2}$-2）cm時，四邊形AOBP是正方形．
∵四邊形AOBP是正方形，
∴AO=AP，∠OAP=∠APB=∠AOB=90°，
∵點P作⊙O的切線PA、PB，切點分別為A、B．
∴∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}∠$APB=45°，
∴∠AOP=45°，
∵OA=OP=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴PO=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，
∴PD=PO-OD=（2$\sqrt{2}$-2）cm．
故答案為：2$\sqrt{2}$-2．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．