Question

11．如圖，OA，OB是⊙O的半徑，C是$\widehat{AB}$的中點，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足為M，N，求證：AM=BN．

Answer 1

分析 根據C是$\widehat{AB}$的中點求出∠AOC=∠BOC，求出∠CMO=∠CNO=90°，根據AAS推出△CMO≌△CNO，根據全等得出OM=ON，即可得出答案．

解答 證明：連接OC，

∵C是$\widehat{AB}$的中點，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC，
∵CM⊥OA，CN⊥OB，
∴∠CMO=∠CNO=90°，
在△CMO和△CNO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MOC=∠NOC}\\{∠CMO=∠CNO}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△CMO≌△CNO（AAS），
∴OM=ON，
∵OA=OB，
∴AM=BN．

點評 本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，全等三角形的性質和判定的應用，能求出△CMO≌△CNO是解此題的關鍵．