Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，4）、B（-4，0），BE⊥AC于E交y軸于點M（0，a），且∠BMA=105°．下列四個結論：①AE=

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AB；②點C的坐標為（2a，0）；③AB=CM+BM；④CE+CM=AE．其中結論正確的序號是（　　）

• A、只有①④
• B、只有①③④
• C、只有②③
• D、①②③④

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,坐標與圖形性質

專題：

分析：先求出∠ABM=30°，即可得出結論①正確；通過證明△AOC≌△BOM，得出②錯誤；延長ME至F，使EF=ME，連接AF、CF，證明AB=AF，得出③正確；在AE上截取EG=CE，連接GM、GF，得出四邊形MCFG是菱形，證出④正確．

解答： 解：∵A（0，4）、B（-4，0），
∴△OAB時等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BMA=105°，
∴∠ABM=180°-105°-45°=30°，
∵BE⊥AC，∴AE=

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AB，
∴①正確；
∵∠BAE=90°-∠ABE=60°，
∴∠OAC=60°-45°=15°，
∵∠OBM=45°-30°=15°，
∴∠OAC=∠OBM，
在△AOC和△BOM中，

∠OAC=∠OBM   OA=OB   ∠AOC=∠BOM

，
∴△AOC≌△BOM（ASA），
∴OC=OM=a，
∴C（a，0），
∴②錯誤；
延長ME至F，使EF=ME，連接AF、CF，如圖所示：
∴AF=AM，
∴CF=CM，
∴∠FAE=∠OAC=15°，
∴∠BAF=45°+15°+15°=75°，∠AFB=75°，
∴AB=BF，
∵OC=OM，
∴∠OMC=45，
∴∠CMF=60°，
∴△CMF是等邊三角形，
∴CM=MF，
∴AB=BM+MF=BM+CM，
∴③正確；
在AE上截取EG=CE，連接GM、GF，如圖所示：
則四邊形MCFG是菱形，
∴∠MGF=60°，
∴∠MGE=30°，
∴∠AMG=30°-15°=15°，
∴GM=AG，
∴CE+CM=GE+AG=AE，
∴④正確；
故選：B．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定以及圖形與坐標性質、含30°角的直角三角形的性質；證明三角形全等是解決②的關鍵；特別是通過作輔助線解決問題③④是常用的方法．