Question

5． 如圖，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分線交BC于點D．
（1）求∠ADC的度數；
（2）求證：DC=2DB．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形兩底角相等求出∠B，再根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AD=BD，根據等邊對等角可得∠BAD=∠B，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解；
（2）根據三角形的內角和得到∠DAC=90°，根據直角三角形的性質得到AD=$\frac{1}{2}$CD，∠BAD=30°，求得∠B=∠BAD，根據等腰三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°+30°=60°；
（2）∵∠ADC=60°，∠C=30°，
∴∠DAC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$CD，∠BAD=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD，
∴DC=2DB．

點評 本題考查了線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，等腰三角形的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記各性質是解題的關鍵．