Question

1．已知拋物線y=-x²+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．
①求A、B、C三點的坐標；
②過點A作AD∥BC交拋物線于點D，求直線AD的解析式；（提示：已知直線l₁的解析式為y=k₁+b₁，直線l₂的解析式為y=k₂x+b₂，若l₁∥l₂，則k₁=k₂；若l₁⊥l₂，則k₁•k₂=-1）
③求四邊形ACBD的面積．

Answer 1

分析 （1）通過解方程-x²+2=0可得A、B點的坐標，然后計算自變量為0時的函數值可得到C點坐標；
（2）先利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=-$\sqrt{2}$x+2，再利用AD∥BC設為y=-$\sqrt{2}$x+n，然后把A點坐標代入求出n即可得到直線AD的解析式；
（3）先通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2}\\{y=-\sqrt{2}x-2}\end{array}\right.$得D點坐標為（2$\sqrt{2}$，-6），然后根據三角形面積公式，利用四邊形ACBD的面積=S_△ABC+S_△ABD進行計算即可．

解答 解：（1）當y=0時，-x²+2=0，解得x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，則A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0）；
當x=0時，y=-x²+2=2，則C點坐標為（0，2）；
（2）設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（$\sqrt{2}$，0），C（0，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得k=-$\sqrt{2}$，b=2，
所以直線BC的解析式為y=-$\sqrt{2}$x+2，
∵AD∥BC，
∴直線AD的解析式可設為y=-$\sqrt{2}$x+n，
把A（-$\sqrt{2}$，0）代入得-$\sqrt{2}$×（-$\sqrt{2}$）+n=0，解得n=-2，
∴直線AD的解析式為y=-$\sqrt{2}$x-2；
（3）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2}\\{y=-\sqrt{2}x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=-6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴D點坐標為（2$\sqrt{2}$，-6），
∴四邊形ACBD的面積=S_△ABC+S_△ABD
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×6
=8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了待定系數法求一次函數解析式和通過解方程組求拋物線與一次函數的交點坐標．