Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，AM、BN分別與⊙O相切于點A、B，CD交AM、BN于點D、C，DO平分∠ADC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）設AD=4，AB=x （x＞0），BC=y （y＞0）．求y關于x的函數解析式．

Answer 1

分析 （1）過O作OE⊥CD于點E，則∠OED=90°．依據切線的性質可知∠OAD=90°，接下來證明△OAD≌△OED，依據全等三角形的性質可知OA=OE，故此OE為⊙O的半徑，則CD是⊙O的切線；
（2）如圖2所示：過O作OE⊥CD于點E，過點D作DF⊥BC于點F，則DF=AB=x．由切線長定理可得：DE=DA，CE=CB，則CD=4+y，在Rt△DFC中依據勾股定理可得到（y+4）=x²+（y-4）²，從而可得到y與x的函數關系式．

解答 解：（1）過O作OE⊥CD于點E，則∠OED=90°．

∵⊙O與AM相切于點A，
∴∠OAD=90°．
∵OD平分∠ADE，
∴∠ADO=∠EDO．
∵OD=OD，
∴△OAD≌△OED．
∴OE=OA．
∵OA是⊙O的半徑，
∴OE是⊙O的半徑．
∴CD是⊙O的切線．
（2）如圖2所示：過O作OE⊥CD于點E，過點D作DF⊥BC于點F，則DF=AB=x．

∵AD=4，BC=y，
∴CF=BC-AD=y-4．
由切線長定理可得：DE=DA，CE=CB，
∴CD=CE+ED
=BC+AD
=4+y
在Rt△DFC中，
∵CD²=DF²+FC²
∴（y+4）=x²+（y-4）²．
整理得：y=$\frac{1}{16}$x²，則y關于x的函數關系式為：y=$\frac{1}{16}$x²．

點評 本題主要考查的是切線的性質和判定，解答本題主要應用了切線的性質和判定定理、全等三角形的性質和判定，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．