Question

4．如圖，A（m，0），B（0，n），以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)在第二象限作等腰直角△ABC．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在y軸右側(cè)的平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使△PAB與△ABC全等？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，由△ABC為等腰直角三角形即可得出∠ABC=90°、AB=BC，通過角的計(jì)算即可得出∠ABO=∠BCD，再結(jié)合∠CDB=∠BOA=90°即可利用AAS證出△ABO和△BCD，由此即可得出BD、CD的長度，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）△PAB與△ABC全等分兩種情況：①當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，根據(jù)∠ABC=∠ABP=90°、△ABC≌△ABP，即可得出點(diǎn)C、P關(guān)于點(diǎn)B對稱，結(jié)合點(diǎn)B、C的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)∠BAP=90°時(shí)，由∠ABC=∠BAP=90°即可得出BC∥AP，根據(jù)△ABC≌△BAP即可得出BC=AP，進(jìn)而可找出四邊形APBC為平行四邊形，結(jié)合點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)即可找出點(diǎn)P的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，如圖1所示．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°，AB=BC．
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB=∠BOA=90°．
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ABO=∠BCD．
在△ABO和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠BCD}\\{∠BOA=∠CDB=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD=AO，CD=BO，
∵A（m，0），B（0，n），
∴BD=-m，CD=n，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-n，n-m）．
（2）△PAB與△ABC全等分兩種情況：
①當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，如圖2所示．
∵∠ABC=∠ABP=90°，△ABC≌△ABP，
∴點(diǎn)C、P關(guān)于點(diǎn)B對稱，
∵C（-n，n-m），B（0，n），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n+m）；
②當(dāng)∠BAP=90°時(shí)，如圖3所示．
∵△ABC≌△BAP，
∴∠ABC=∠BAP=90°，BC=AP，
∴BC∥AP，
∴四邊形APBC為平行四邊形．
∵A（m，0）、B（0，n），C（-n，n-m），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m+n，m）．
綜上所述：在y軸右側(cè)的平面內(nèi)存在一點(diǎn)P，使△PAB與△ABC全等，P點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n+m）或（m+n，m）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．