Question

19．如圖，直徑AB、CD所夾銳角為60°，點P為$\widehat{BC}$上的一個動點（不與點B、C重合），PM、PN分別垂直于CD、AB，垂足分別為點M、N．若⊙O的半徑為2cm，則在點P移動過程中，MN的長是否有變化否（填“是”或“否”），若有變化，寫出MN的長度范圍；若無變化，寫出MN的長度：$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 因為P為⊙O上的一個動點（不與點A，B，C，D重合），所以可以考慮特殊情況下即當PN⊥AB于圓心O時，延長PN交圓與點E，PM⊥CD，延長PM交圓于點F，連接EF，求出EF的長，得到MN的長，根據圓周角、圓心角、弧、弦之間的關系得到答案．

解答 解：MN的長沒有變化；理由如下：
如圖所示，當PN⊥AB于圓心O時，延長PN交圓與點E，PM⊥CD，延長PM交圓于點F，連接EF，
根據垂徑定理，MN=$\frac{1}{2}$EF，
∵∠AOD=120°，PN⊥AB，
∴∠PNM=30°，∠P=60°，
在Rt△PEF中，PE=4，則EF=2$\sqrt{3}$
∴MN=$\sqrt{3}$，
點P移動時，由題意得：∠P=60°，
由垂徑定理，始終有MN∥EF且MN=$\frac{1}{2}$EF，
即弦長為2$\sqrt{3}$，
∴MN=$\sqrt{3}$．
故答案為：否，$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是垂徑定理、三角形中位線定理和銳角三角函數的運用，求出特殊情況下的MN的值是解題的關鍵，解答時，要靈活運用圓周角、圓心角、弧、弦之間的關系．