Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若點P從點B出發以2cm/s的速度向點A運動，點Q從點A出發以1cm/s的速度向點C運動，設P、Q分別從點B、A同時出發，運動的時間為ts．
（1）用含t的式子表示線段AP、AQ的長；
（2）當t為何值時，△APQ是以PQ為底邊的等腰三角形？
（3）當t為何值時，PQ∥BC？

Answer 1

分析 （1）由題意，可知∠B=30°，AC=6cm．BP=2t，AP=AB-BP，AQ=t．
（2）若△APQ是以PQ為底的等腰三角形，則有AP=AQ，即12-2t=t，求出t即可．
（3）先根據直角三角形的性質求出∠B的度數，再由平行線的性質得出∠QPA的度數，根據直角三角形的性質即可得出結論．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°．
又∵AB=12cm，
∴AC=6cm，BP=2t，AP=AB-BP=12-2t，AQ=t；

（2）∵△APQ是以PQ為底的等腰三角形，
∴AP=AQ，即12-2t=t，
∴當t=4時，△APQ是以PQ為底邊的等腰三角形；

（3）當PQ⊥AC時，PQ∥BC．
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°
∵PQ∥BC，
∴∠QPA=30°
∴AQ=$\frac{1}{2}$AP，
∴t=$\frac{1}{2}$（12-2t），解得t=3，
∴當t=3時，PQ∥BC．

點評 本題考查的是等腰三角形的判定及平行線的判定與性質，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此題的關鍵．