Question

如圖，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C．若點P，Q同時從A點出發，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．

（1）求該二次函數的解析式及點C的坐標；

（2）當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點坐標；若不存在，請說明理由．

（3）當P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請判定此時四邊形APDQ的形狀，并求出D點坐標．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【專題】代數幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）將A，B點坐標代入函數y=x²+bx+c中，求得b、c，進而可求解析式及C坐標．

（2）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設邊長為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標．

（3）注意到P，Q運動速度相同，則△APQ運動時都為等腰三角形，又由A、D對稱，則AP=DP，AQ=DQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對邊平行且相等等性質可用t表示D點坐標，又D在E函數上，所以代入即可求t，進而D可表示．

【解答】方法（1）：

解：（1）∵二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴，

解得，

∴y=x²﹣x﹣4．

∴C（0，﹣4）．

 

（2）存在．

如圖1，過點Q作QD⊥OA于D，此時QD∥OC，

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC==5，

∵當點P運動到B點時，點Q停止運動，AB=4，

∴AQ=4．

∵QD∥OC，

∴，

∴，

∴QD=，AD=．

①作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時AE=EQ，即△AEQ為等腰三角形，

設AE=x，則EQ=x，DE=AD﹣AE=|﹣x|，

∴在Rt△EDQ中，（﹣x）²+（）²=x²，解得 x=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0），

說明點E在x軸的負半軸上；

②以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E，此時QE=QA=4，

∵ED=AD=，

∴AE=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0）．

③當AE=AQ=4時，

1．當E在A點左邊時，

∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，

∴E（﹣1，0）．

2．當E在A點右邊時，

∵OA+AE=3+4=7，

∴E（7，0）．

綜上所述，存在滿足條件的點E，點E的坐標為（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．

 

（3）四邊形APDQ為菱形，D點坐標為（﹣，﹣）．理由如下：

如圖2，D點關于PQ與A點對稱，過點Q作，FQ⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，

∴AP=AQ=QD=DP，

∴四邊形AQDP為菱形，

∵FQ∥OC，

∴，

∴，

∴AF=，FQ=，

∴Q（3﹣，﹣），

∵DQ=AP=t，

∴D（3﹣﹣t，﹣），

∵D在二次函數y=x²﹣x﹣4上，

∴﹣=（3﹣t）²﹣（3﹣t）﹣4，

∴t=，或t=0（與A重合，舍去），

∴D（﹣，﹣）．

 

方法二：

（1）略．

（2）∵點P、Q同時從A點出發，都已每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC運動．過點Q作x軸垂線，垂足為H．

∵A（3，0），C（0，4），

∴l_AC：y=x﹣4，

∵點P運動到B點時，點Q停止運動，

∴AP=AQ=4，

∴QH=，Q_y=﹣，

代入L_AC：y=x﹣4得，Q_x=，則Q（，﹣），

∵點E在x軸上，

∴設E（a，0），

∵A（3，0），Q（，﹣），△AEQ為等腰三角形，

∴AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ，

∴（a﹣3）2=（a﹣）2+（0+）2，∴a=﹣，

（a﹣3）2=（3﹣）2+（0+）2，∴a1=7，a2=﹣1，

（a﹣）2+（0+）2=（3﹣）2+（0+）2，∴a1=﹣，a2=3（舍）

∴點E的坐標為（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．

 

（3）∵P，Q運動到t秒，

∴設P（3﹣t，0），Q（3﹣t，﹣ t），

∴K_PQ=，K_PQ=﹣2，

∵AD⊥PQ，

∴K_PQ•K_AD=﹣1，

∴K_AD=，

∵A（3，0），

∴l_AD：y=x﹣，

∵y=，

∴x1=3（舍），x2=﹣，

∴D（﹣，﹣），

∵D_Y=Q_Y，即﹣t=﹣，t=，DQ∥AP，DQ=AQ=AP，此時四邊形APDQ的形狀為菱形．

【點評】本題考查了二次函數性質、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知識，總體來說題意復雜但解答內容都很基礎，是一道值得練習的題目．