Question

16．如圖，已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的邊分別為a，b，c，點P是AB邊上的一個動點（P與A，B不重合），連接PC，過P作PQ∥AC交BC于Q點．
（1）如果a，b滿足關系式a²+b²-12a-16b+100=0，c是不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x-1}{3}＞x-4}\\{2x+3＜\frac{6x+1}{2}}\end{array}\right.$的最大整數解，試說明△ABC的形狀；
（2）設AP=x，S_△PCQ=y，試求y與x之間的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍；
（3）根據（2）所求得的函數關系式計算：當AP取多長時，△PCQ的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）利用配方法把a²+b²-12a-16b+100=0整理為完全平方形式，根據非負數的性質得到a、b的值；再解給出的不等式組求出c的值，進而課判斷三角形的形狀；
（2）利用相似圖形的面積比等于相似比的平方，可用x表示出△BPQ的面積，而△APC與△ABC等高不等底，也可以用x表示出它的面積，根據圖形面積之間的關系可找出所求y與x之間的關系；
（3）將（2）中得出的二次函數配成完全平方形式，即可得出結論．

解答 解：（1）∵a²+b²-12a-16b+100=0，
∴（a-6）²+（b-8）²=0，
∴a-6=0，b-8=0，
∴a=6，b=8．
∵不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x-1}{3}＞x-4}\\{2x+3＜\frac{6x+1}{2}}\end{array}\right.$的解是
解得$\frac{5}{2}$＜x＜11，
∵c是不等式組的最大整數解，
∴c=10．
∵8²+6²=10²，即a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）可知△ABC面積6×8÷2=24，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BPQ}}{{S}_{△BAC}}$=${（\frac{BP}{BA}）}^{2}$=${（\frac{10-x}{10}）}^{2}$，
S_△BPQ=24${（\frac{10-x}{10}）}^{2}$，
∵△APC與△ABC等高不等底，
∴$\frac{{S}_{△APC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{x}{10}$，
S_△APC=$\frac{24x}{10}$，
S_△CPQ=S_△ABC-S_△APC-S_△BPQ=24-$\frac{24x}{10}$-24${（\frac{10-x}{10}）}^{2}$=y，
整理得y=-0.24x²+2.4x，
又∵點P是AB邊上的一個動點（P與A，B不重合），
∴0＜x＜10，
故y與x之間的函數關系式為y=-0.24x²+2.4x（0＜x＜10）．
（3）∵y=-0.24x²+2.4x=-0.24（x-5）²+6（0＜x＜10），
∴當x=5時，y最大，此時y=6，
答：當AP取5時，△PCQ的面積最大，最大面積是6．

點評 本題是一個綜合類的題目，考查了直角三角形勾股定理的逆運用、解不等式組、相似三角形的性質以及二次函數極值的問題，解題的關鍵是熟練的將各種基礎知識扎實運用．