Question

17．如圖，△ABC是邊長為8的等邊三角形，F是邊BC上的動點，且DF⊥AB，EF⊥AC．則四邊形ADFE的面積最大值是12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，由等邊三角形的性質得出AB=BC=8，BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=4，解直角三角形求出AM，得出△ABC的面積；求出∠DFB=∠EFC=30°，由含30°角的直角三角形的性質得出BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$x，CE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$（8-x），得出DF、EF的長度，求出△BDF和△CEF的面積，由四邊形ADFE面積S=△ABC的面積-△BDF的面積-△CEF的面積，得出S與x之間的函數關系式為S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+2$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$；化成頂點式，得出當x=4時，S取最大值為12$\sqrt{3}$即可．

解答 解：作AM⊥BC于M，如圖所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=8，BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$×8×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$，
設BF=x，則CF=8-x，
∵∠BDF=∠CEF=90°，∠B=∠C=60°，
∴∠DFB=∠EFC=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$x，CE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$（8-x），
∴DF=$\sqrt{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，EF=$\sqrt{3}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（8-x），
∴△BDF的面積=$\frac{1}{2}$BD•DF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²，
△CEF的面積=$\frac{1}{2}$CE•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（8-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（8-x）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（8-x）²，
∴S_{四邊形ADFE}=△ABC的面積-△BDF的面積-△CEF的面積
=16$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（8-x）²=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+2$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$，
即S與x之間的函數關系式為S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+2$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$；
又∵S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+2$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-4）²+12$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，
∴當x=4時，S取最大值為12$\sqrt{3}$；
故答案為12$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、勾股定理、三角形面積的計算公式、含30°角的直角三角形的性質、二次函數的最值問題等知識；求出S與x之間的函數關系式是解題的關鍵．