Question

12．如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（5，0）兩點，與y軸交于點C（0，5）．
（1）求該拋物線所對應的函數關系式；
（2）D是笫一象限內拋物線上的一個動點（與點C、B不重合），過點D作DF⊥x軸于點F，交直線BC于點E，連結BD、CD．設點D的橫坐標為m，△BCD的面積為S．
①求S關于m的函數關系式及自變量m的取值范圍；
②當m為何值時，S有最大值，并求這個最大值；
③直線BC能否把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分？若能，請求出點D的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線與x軸的兩個交點坐標可設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-5），將點C（0，3）代入拋物線解析式中即可得出關于a一元一次方程，解方程即可求出a的值，從而得出拋物線的解析式；
（2）①設直線BC的函數解析式為y=kx+b，結合點B、點C的坐標，利用待定系數法求出直線BC的函數解析式，再由點D橫坐標為m得出點D、點E的坐標，結合兩點間的距離公式以及三角形的面積公式，即可得出結論；②由①的結論，利用配方法將S關于m的函數關系式進行變形，從而得出結論；③結合圖象可知△BDE和△BFE是等高的，由此得出它們的面積比=DE：EF，分兩種情況考慮，根據兩點間的距離公式即可得出關于m的分式方程，解方程即可得出m的值，將其代入到點D的坐標中即可得出結論．

解答 （1）∵拋物線經過A（-1，0），B（5，0），C（0，5），
∴設y=a（x+1）（x-5），
∴5=a（0+1）（0-5），
解得a=-1，
∴拋物線的函數關系式為y=-（x+1）（x-5），
即y=-x²+4x+5；

（2）①設直線BC的函數關系式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}b=5\\ 5k+b=0.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5.\end{array}\right.$，
∴y=-x+5，
設D（m，-m²+4m+5），E（m，-m+5），
∴DE=-m²+4m+5+m-5=-m²+5m
∴s=$\frac{1}{2}×5$（-m²+5m）=-$\frac{5}{2}$m²+$\frac{25}{2}$m （0＜m＜5）；

②s=-$\frac{5}{2}$m²+$\frac{25}{2}$m=$-\frac{5}{2}{（{m-\frac{5}{2}}）^2}+\frac{125}{8}$，
∵$-\frac{5}{2}＜0$，
∴當m=$\frac{5}{2}$時，S有最大值，S_最大值=$\frac{125}{8}$；

③∵△BDE和△BFE是等高的，
∴它們的面積比=DE：EF，
（ⅰ）當DE：EF=2：3時，
即$\frac{{-{m^2}+5m}}{-m+5}=\frac{2}{3}$，
解得：${m_1}=\frac{2}{3}，{m_2}=5$（舍），
此時，D（$\frac{2}{3}，\frac{65}{9}$）；

（ⅱ）當DE：EF=3：2時，
即$\frac{{-{m^2}+5m}}{-m+5}=\frac{3}{2}$，
解得：${m_1}=\frac{3}{2}，{m_2}=5$（舍），
此時，D（$\frac{3}{2}，\frac{35}{4}$）．
綜上所述，點D的坐標為（$\frac{2}{3}，\frac{65}{9}$）或（$\frac{3}{2}，\frac{35}{4}$）．

點評 本題屬于二次函數綜合題，主要考查了二次函數的性質、待定系數法求函數解析式、兩點間的距離公式以及三角形的面積公式的綜合應用，解題的關鍵是運用待定系數法求函數解析式；找出直線BC的函數解析式；運用配方法解決最值問題．解題時注意分類討論思想的運用．