Question

6．已知：拋物線y=ax ²+4ax+4a （a＞0）

（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）若拋物線經過點A（m，y₁），B（n，y₂），其中-4＜m≤-3，0＜n≤1，則y₁＜y₂（用“＜”或“＞”填空）；
（3）如圖，矩形CDEF的頂點分別為C（1，2），D（1，4），E（-3，4），F（-3，2），若該拋物線與矩形的邊有且只有兩個公共點（包括矩形的頂點），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把拋物線解析式化為頂點式可求得其頂點坐標；
（2）由拋物線的對稱性可知當開口向上時，離對稱軸越近其函數值則越小，則可求得答案；
（3）由于拋物線的頂點確定，且開口向上，所以當拋物線開口越大時a的值越小，當拋物線開口越小時a的值越大，可知當拋物線過C時a有最小值，當拋物線過F時a有最大值，則可求得a的取值范圍．

解答 解：
（1）∵y=a （ x ²+4x+4 ）=a （ x+2 ） ²，
∴拋物線的頂點坐標為（-2，0）；
（2）∵a＞0，且對稱軸為直線x=-2，
∴當函數圖象上的點離對稱軸越近時其函數值越小，
∵-4＜m≤-3，0＜n≤1，
∴A點離對稱軸x=-2近，
∴y ₁＜y ₂，
故答案為：＜；
（3）∵y=a （ x+2 ） ²開口向上，且頂點為（-2，0），
∴當開口越大時a的值越小，當開口越小時a的值越大，
∴當拋物線過點C時a有最小值，當拋物線過點F時a有最大值
代入點C（1，2），得a=$\frac{2}{9}$，
代入點F（-3，2），得a=2，
∴$\frac{2}{9}$＜a＜2．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及二次函數的性質、二次函數的開口大小、二次函數的比較大小及數形結合思想等知識．在（1）中把二次函數解析式化為頂點式是解題的關鍵，在（2）中掌握拋物線上的點離對稱軸的距離的遠近與函數值的大小關系是解題的關鍵，在（3）中掌握拋物線的開口大小與二次項系數的關系是解題的關鍵．本題考查知識點不多，但綜合性很強，難度適中．