Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，-3），A點的坐標為（-1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點P是拋物線在第四象限上的一個動點，當四邊形ABPC的面積最大時，
求點P的坐標，并求出四邊形ABPC的最大面積；
（3）若Q為拋物線對稱軸上一動點，直接寫出使△QBC為直角三角形的點Q的
坐標．

Answer 1

分析 （1）把A、C兩點坐標代入可求得b、c的值，可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）由拋物線解析式可求得B點坐標，由B、C坐標可求得直線BC解析式，可設(shè)出P點坐標，用P點坐標表示出四邊形ABPC的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積的最大值及P點坐標；
（3）由拋物線解析式可求得其對稱軸，則可設(shè)出Q點的坐標，則可表示出QB²、QC²和BC²，分∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三種情況，分別根據(jù)勾股定理得到關(guān)于Q點坐標的方程，可求得Q點的坐標．

解答 解：
（1）∵A（-1，0），C（0，-3）在y=x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-b+c=0\\ c=-3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3；

（2）在y=x²-2x-3中，令y=0可得0=x²-2x-3，解得x=3或x=-1，
∴B（3，0），且C（0，-3），
∴經(jīng)過B、C兩點的直線為y=x-3，
設(shè)點P的坐標為（x，x²-2x-3），如圖，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，與直線BC交于點E，則E（x，x-3），

∵S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BCP=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$（3x-x²）×3=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+6=$-\frac{3}{2}{（{x-\frac{3}{2}}）^2}+\frac{75}{8}$，
∴當$x=\frac{3}{2}$時，四邊形ABPC的面積最大，此時P點坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
∴四邊形ABPC的最大面積為$\frac{75}{8}$；

（3）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴對稱軸為x=1，
∴可設(shè)Q點坐標為（1，t），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BQ²=（1-3）²+t²=t²+4，CQ²=1²+（t+3）²=t²+6t+10，BC²=18，
∵△QBC為直角三角形，
∴有∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三種情況，
①當∠BQC=90°時，則有BQ²+CQ²=BC²，即t²+4+t²+6t+10=18，解得t=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或t=$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，此時Q點坐標為（1，$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$）或（1，$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$）；
②當∠CBQ=90°時，則有BC²+BQ²=CQ²，即t²+4+18=t²+6t+10，解得t=2，此時Q點坐標為（1，2）；
③當∠BCQ=90°時，則有BC²+CQ²=BQ²，即18+t²+6t+10=t²+4，解得t=-4，此時Q點坐標為（1，-4）；
綜上可知Q點的坐標為（1，$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$）或（1，$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$）或（1，2）或（1，-4）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用P點坐標表示出四邊形ABPC的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中用Q點坐標分別表示出BQ和CQ的長是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．