Question

13．如圖1，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，經過點O的直線與邊AB相交于點E，與邊CD相交于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）如圖2，連接DE，BF，當DE⊥AB時，在不添加其他輔助線的情況下，直接寫出腰長等于$\frac{1}{2}$BD的所有的等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA=OC，AB∥CD，則可證得△AOE≌△COF（ASA），繼而證得OE=OF；
（2）證明四邊形DEBF是矩形，由矩形的性質和等腰三角形的性質即可得出結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF；
（2）解：∵OE=OF，OB=OD，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四邊形DEBF是矩形，
∴BD=EF，
∴OD=OB=OE=OF=$\frac{1}{2}$BD，
∴腰長等于$\frac{1}{2}$BD的所有的等腰三角形為△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．

點評 此題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的性質、等腰三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．