Question

2．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D，在線段AD上任取一點P（點A除外），過點P作EF∥AB，分別交AC、BC于E，F點，作PM∥AC，交AB于M點，連接ME．
（1）判斷四邊形AEPM的形狀，并說明理由；
（2）當P點在何處時，四邊形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半．

Answer 1

分析 （1）先根據兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，證明四邊形AEPM為平行四邊形，再證明EA=EP，則四邊形AEPM為菱形；
（2）點P為EF的中點時，四邊形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半．作高線EN，先證明四邊形EFBM是平行四邊形，根據面積公式可得結論．

解答 解：（1）四邊形AEPM為菱形，理由是：
∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四邊形AEPM為平行四邊形，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF∥AB，
∴∠EPA=∠BAD，
∴∠CAD=∠EPA，
∴EA=EP，
∴四邊形AEPM為菱形；
（2）點P為EF的中點時，S_菱形AEPM=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EFBM}，
理由：
∵四邊形AEPM為菱形，
∴AD⊥EM，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴EM∥BC，
∵EF∥AB，
∴四邊形EFBM是平行四邊形，
作EN⊥AB于N，
則S_菱形AEPM=EP•EN=$\frac{1}{2}$EF•EN=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EFBM}．

點評 本題考查了菱形和平行四邊形的性質和判定、等腰三角形三線合一的性質，熟練掌握平行四邊形和菱形的判定方法是關鍵，還要熟記平行四邊形和三角形的面積公式．