Question

17．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點O是AB的中點，點D是AC上一點，過點C作CE⊥BD于點E，連接EO．
（1）過點O作OF⊥OE交BD于點F，如圖1，試判斷線段OE與OF之間的數量關系，并說明理由．
（2）若點D是AC的中點，BC=4，請在備用圖上畫出符合條件的圖形，并求出OE的長．
（3）若CD=$\frac{1}{3}$AC，BC=6，請直接寫出OE的長（不用說理）．

Answer 1

分析 （1）結論：OE=OF，如圖1中，連接OC．由CA=CB，∠ACB=90°，OA=OB，推出OC=OB，OC⊥AB，∠OBC=∠BCO=45°，取BC的中點K，連接EK、KO，由CE⊥DB，推出∠CEB=90°，EK=CK=KB=OK，推出C、E、O、B四點共圓，推出∠OEF=$\frac{1}{2}$∠OKB，由此即可解決問題．
（2）由△DCE∽△DBC，得$\frac{CD}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{CE}{BC}$，求出DE、CE、EB，由△EOC≌△FOB，得CE=BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，推出EF=BE-BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，由OE=EF•cos45°即可解決問題．
（3）由△DCE∽△DBC，得$\frac{CD}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{CE}{BC}$，求出DE、CE、EB，由△EOC≌△FOB，得CE=BF，根據°計算即可．

解答 解：（1）結論：OE=OF，理由如下，
如圖1中，連接OC．

∵CA=CB，∠ACB=90°，OA=OB，
∴OC=OB，OC⊥AB，∠OBC=∠BCO=45°，取BC的中點K，連接EK、KO，
∵CE⊥DB，
∴∠CEB=90°，EK=CK=KB=OK，
∴C、E、O、B四點共圓，
∴∠OEF=$\frac{1}{2}$∠OKB，
∵OC=OB，CK=KB，
∴OK⊥BC，
∴∠OKB=90°，
∴∠OEB=45°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OE=OF．

（2）如圖2所示，連接OC．

∵BC=CA=4，CD=AD=2，
在Rt△DCB中，BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠CDE=∠CDB，∠CED=∠DCB，
∴△DCE∽△DBC，
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{CE}{BC}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{DE}{2}$=$\frac{CE}{4}$，
∴DE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，CE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴BE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵∠EOF=∠COB=90°，
∴∠EOC=∠FOB，
在△EOC和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EO=OF}\\{∠EOC=∠FOB}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△FOB，
∴CE=BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=BE-BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴OE=EF•cos45°=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

（3）如圖3中，連接AC．

由題意CD=2，BC=6，BD=2$\sqrt{10}$，
∵△DCE∽△DBC，
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{CE}{BC}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{10}}$=$\frac{DE}{2}$=$\frac{EC}{6}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，CE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，EB=$\frac{9\sqrt{10}}{5}$，
∵△EOC≌△FOB，
∴CE=BF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴EF=EB-BF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴OE=EF•cos45°=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、銳角三角函數、勾股定理、相似三角形的判定和性質、圓等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．