Question

6．如圖，已知，∠BAC=90°，點D是直線BC上一點，DE⊥AB于點E，EF∥BC交AC于點F，設∠ACB=α
（1）當點D線段BC延長線上時，如圖（1）求證：∠DEF=180°-α；
（2）當點D線段BC上時，如圖（2）直接寫出∠DEF與α的數量關系；
（3）在（1）的條件下，連接CE，當α=60°時，EC平分∠DEF，點G在直線CE上，且∠CAG=45°，求∠ACE的度數．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥AB知∠DEA=∠CAB=90°，從而得AC∥DE即可知∠ACB=∠D=α，根據EF∥BC可得∠D+∠DEF=180°；
（2）由（1）知AC∥DE可得∠C=∠BDE=α，再根據EF∥BC可得；
（3）由AC∥DE知∠ACB=∠D=60°，根據EF∥BC得∠1=∠3、∠DEF=180°-∠D=120°，再由EC平分∠DEF得∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠DEF=60°，從而知∠3=∠2=60°，根據∠ACE=180°-∠ACB-∠3可得．

解答 解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA=∠CAB=90°，
∴AC∥DE，
∴∠ACB=∠D=α，
又∵EF∥BC，
∴∠D+∠DEF=180°，即∠DEF=180°-α；

（2）由（1）知，AC∥DE，
∴∠C=∠BDE=α，
又∵EF∥BC，
∴∠BDE=∠DEF=α；

（3）如圖，連接CE，

∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠D=60°，
又∵EF∥BC，
∴∠1=∠3，∠DEF+∠D=180°，
∴∠DEF=180°-∠D=120°，
∵EC平分∠DEF，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠DEF=60°，
∴∠3=∠2=60°，
則∠ACE=180°-∠ACB-∠3=60°．

點評 本題主要考查平行線的判定與性質及角平分線的定義、垂直的性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．